본문 바로가기

수학/포스텍 수학 경시대회

제 11회(1996년) 포항공대 수학경시대회(未完)

1. 공간 상에 길이가 1이고 서로 수직인 두 벡터 $\vec{u} = (a, u_1, u_2)$, $\vec{v} = (b, v_1, v_2)$가 있을 필요충분조건은 $a^2+b^2 \le 1$임을 보여라.


2. $f''(x) \ge 0$인 함수 $y=f(x)$와 직선 $y=l(x)$가 $a < b $인 두 실수 $a, b$에 대하여 $f(a)=l(a)$, $f(b)=l(b)$를 만족한다면 구간 $[a, b]$에서 항상 $l(x) \ge f(x)$임을 보여라.


3. A와 B가 가위바위보를 하여 높은 계단을 먼저 올라가는시합을 한다. 보로 이기면 5칸을, 가위로 이기면 2칸을, 바위로 이기면 1칸을 오르고, 비기거나 지면 제자리에 서 있는다. B는 A가 가위는 $\frac{1}{3}$, 바위는 $\frac{1}{6}$, 보는 $\frac{1}{2}$의 빈도로 내는 것을 안다. B가 선택할 최선의 방법을 구하여라.


4. $X=\{ 1, 2, \cdots, 8\}$이라 할 떄, $f : X \rightarrow X$ 중 $f(f(f(x)))=x$를 만족하는 함수 $f$의 개수를 구하여라.


5. $|z|=1$인 어떠한 복소수 $z$를 대입하여도 부등식 $|1+z|^3+A|1-z|^2 \le 8$을 만족시키는 실수 $A$ 중에서 최대인 것을 구하여라.


6. 여러 번 미분 가능한 함수 $y=f(x)$가 조건 $f(0)=f'(0)=0$와 $f''(0)=3$을 만족한다. 충분히 작은 양수 $t$에 대하여 좌표 평면 위의 세 점 $(t, f(t)), (0, 0), (-t, f(-t))$를 지자는 원의 반지름을 $R(t)$라 할 떄, $\lim _{t \to 0} R(t)$를 구하여라.


7. 한 변의 길이가 1인 정사면체의 꼬인 위치에 있는 두 모서리의 중점 $A, B$를 지나는 직선 $l$이 있어 직선 $l$을 축으로 정사면체를 회전시켜 생긴 입체 $u$의 부피를 구하여라.



문제힌트















태그