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수학/포스텍 수학 경시대회

제 9회(1994년) 포항공대 수학경시대회(未完)

1. $\sqrt 2$는 무리수이다. $\alpha = \sqrt 2 + \sqrt[3] 2 + \sqrt[4] 2$, $\sqrt[4] 8$, $\beta = \sqrt[3] 2 + \sqrt[5]2+\sqrt[4]8$, $\gamma = \sqrt 2 + \sqrt[3]2 + 2 \sqrt[5] 2$라 할 때, $\alpha, \beta, \gamma$ 중 적어도 1개는 무리수임을 보여라.


2.  두 번 미분 가능한 함수 $f$가 $f(0) = 0$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $|f''(x)| \le 1$이라 하자.

(1) 임의의 양수 $a$에 대하여 $\frac{1}{a} \int _{0}^{1} |\frac{f(ax)}{a} - f'(0)x|dx \le \frac{1}{3}$임을 보여라.


(2) 임의의 양수 $a$에 대하여 $\frac{\log (a+1)}{a^3} - \frac{1}{2a} \le \frac{1}{3}$임을 보여라. (단, $\log$는 자연 대수이다.)


3.  무한급수 $\sum _{n=0} ^{\infty} \log ( 1+ \frac{1}{2^{4^n}} + \frac{1}{2^{2 \cdot 4^n}})$의 값을 구하여라. (단, $\log$는 자연 대수이다.)


4. $x$절편과 $y$절편의 합이 1이 되는 직선은 $(1-t)x+ty=t(1-t)$로 표현될 수 잇다. $t$가 0에서 1까지 변할 때 만들어지는 모든 직선들의 자취 중 제 1사분면 부분 $A$의 면적을 구하여라.


5. 중심이 원점에 있는 공의 표면에서 $P, Q, R$을 임의로 잡을 때 세 벡터 $\overrightarrow{OP}, \overrightarrow{OQ}, \overrightarrow{OR}$이 만드는 세 사잇각이 모두 예각일 확률을 구하여라.


6. $p_n$을 $n$번째 소수라 하고, 
$a_n = (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots ) \times ( 1+ \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \cdots ) \times \cdots \times (1 + \frac{1}{p_n} + \frac{1}{p_n ^2} + \frac{1}{p_n ^ 3} + \cdots )$라고 하자.

(1) $\sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{n}$이 발산함을 이용하여 수열 $\{ a_n \}$은 발산함을 보여라.


(2)  $\log n - \log (n-1) \le \frac{2}{n}$을 이용하여 $\sum _{n=1} ^{\infty} \frac{1}{p_n}$도 발산함을 보여라. (단, $\log$는 자연 대수이다.)


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