제 10회(1995년) 포항공대 수학경시대회(未完)

1.  A회사에서 생산되는 모든 과자 봉지에는 $n$종류의 장난감 중 하나가 임의로 선택되어 들어 있다. 모든 종류의 장난감을 다 모으려면 과자 봉지를 평균적으로 몇 개 사야 하겠는가?

2. 좌표공간에 길이가 $\sqrt 2$이고 양 끝이 $(0, 0, 1)$과 $(1, 0, 0)$에 위치한 막대가 있다. 이 막대의 한 끝이 점 $(0, 0, 1)$과 점 $(0, 1, 1)$을 잇는 선분 위에 있고, 다른 한 끝이 점 $(1, 0, 0)$과 점 $(0, 0, 0)$을 잇는 선분 위에 있도록 하며 움직인다. 막대의 자취와 $xz$평면 및 $yz$평면으로 둘러싸인 공간도형의 부피를 구하여라.

3. $A=\{ (x, y) | y \ge |x|^p \}$, $B = \{ (x, y) | x^2+(y-r)^2 \le r^2 \}$ $1 < p < 2$라 하자. 양수 $r$의 어떤 값에 대하여도 $B$가 $A$의 부분집합이 될 수 없음을 보여라.

4. 임의의 자연수 $n$에 대하여

(1) $A_n = {}_n C_0 + {}_n C _0 + {}_n C _4 + \cdots$, $B_n = {}_n C _1 + {}_n C_3 + {}_n C_5 + \cdots$이라 할 때, $A_n=B_n$임을 보여라. (단, $r>n$일 때, ${}_n C_r = 0$으로 정의한다.)

(2) $C_n = {}_nC_0+{}_nC_3+{}_nC6+\cdots$, $D_n={}_nC_1+{}_nC_4+{}_nC_7 + \cdots$, $E_n = {}_nC_2+{}_nC_5+{}_nC_8+\cdots$이라 할 떄, $C_n, D_n, E_n$ 중 둘은 값이 같고 나머지 하나는 이들과 차이가 1임을 보여라. (힌트 : $x^3=1$의 한 허근을 이용할 수 있다.

5. 평면 상의 점 $P(x, y)$ 중 $x, y$가 모두 정수인 점을 격자점이라 한다.

(1) $0 \le y \le 100$이라 하자. 격자점 $P(100, y)$와 원점 $O$를 잇는 선분이 양 끝점 외에 다른 격자점을 포함하지 않게 하는 $y$값의 개수를 구하여라.

(2) 각 꼭짓점에 구멍이 나있고 각 변의 길이가 1인 정사각형 모양의 당구대가 있다. 당구공이 움직이다 꼭짓점에 닿으면 구멍을 통하여 빠져 나온다 하자. 점 $O$에서 당구공을 칠 때, 공이 움직인 거리가 $7$이하가 되는 경로는 몇 가지 있는가? (단, 당구공의 크기와 구멍의 크기는 무관하다.)

6. 모서리의 길이가 1인 정육면체 속에 직원기둥을 정육면체의 각 면과 점으로 만나도록 넣는다.

(1) 직원기둥의 부피의 최댓값을 구하여라.

(2) 부피가 최대인 직원기둥을 정육면체의 밑면에 투영하였을 때, 정사영의 넓이를 구하여라.

문제힌트

기댓값을 계산해야 한다. 무한 급수의 꼴로 나올 것으로 예측이 가능하다.

단면을 생각해서 적분을 해보자.

저기에 포함 되지 않는 점을 찾아보는 것은 어떨까?? (아직 해보진 않음)

전체적으로 이항계수와 관련된 내용을 응용할 수 있는지 묻는 문제인 것 같다.

일반적인 정수론 문제이다. (1)번은 y가 100과 서로소가 되도록 하면 이 조건을 만족하게 된다.

(2)번은 대칭을 이용해보는 것은 어떨까??

(1)번은 최댓값이니까 매개변수를 하나 잡고, 미분을 이용하면 될거고 (2)번은 (1)의 직원기둔을 투영하는 것이므로 부분으로 각각 나눠서 정사영을 시켜서 넓이를 구해보자.