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수학/포스텍 수학 경시대회

제 5회(1990년) 포항공대 수학경시대회(完)

1. 3차원 공간상에 n개의 서로 다른 점 $P_1, P_2, \cdots, P_n$이 있을 때, 직교좌표축 xyz를 알맞게 잡으면 임의의 두 점 $P_i, P_j$의 이 좌표축에 대한 x좌표 $x_i, x_j$ 와 y좌표 $y_i, y_j$와 z좌표 $z_i, z_j$가 모두 틀림을 보여라.


2. 구간 $(0, \infty)$에서 연속이며 모든 $y>0$에 대해서 $\int_{y}^{y^2}f(x) dx = \int_{1}^{y}f(x)dx $를 만족하는 실함수 $f(x)$를 모두 구하여라.


3. 임의의 볼록 팔각형을 내부에서 서로 만나지 않는 대각선을 그어 삼각형으로 분할하는 방법의 수를 구하시오.


4. n차 다항식 $f(x)$가 서로 다른 근 $a_1, a_2, \cdots, a_n$을 가질 때 $f_i(x)$를 $f(x)=f'(a_i)(x-a_i)f_i(x)$를 만족하는 (n-1)차 다항식이라 하자. $g(x)$가 임의의 (n-1)차 다항식일 때 $g(x)=A_1 f_1(x) + \cdots + A_n f_n(x)$이 항등식이 되도록 상수 $A_1, \cdots, A_n$을 항상 잡을 수 있음을 보이시오.


5. 반경이 1인 구면 $x^2+y^2+z^2=1$ 위에 두 점 $A(x_1, y_1, z_1)$와 $B(x_2, y_2, z_2)$를 잡자. A와 B를 통과하는 임의의 평면은 주어진 구와 만나 곡선을 이루게 되는데 이 곡선의 A와 B 사이의 거리가 최소가 되게 하는 평면의 방정식과 그 때의 최소길이를 구하고 답의 타당성을 증명하지오.


6. 양수 위에서 정의된 실수함수 $g$가 임의의 양수 $x, y$에 대해 부등식 $|g(x)-g(y)| \le 1 + |\log \frac{x}{y}|$을 만족한다고 하고, $f(x)=xg(x)$라 정의하면 $|f(x+y)-f(x)-f(y)| \le (1+\log 2)(x+y)$임을 보이시오. (단, $\log$는 자연로그이다.)


문제 힌트

















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