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수학

정수론 문제 2 네이버 지식in에 올라온 내용 중에서 흥미로운 정수론 문제를 발견해서 그것을 풀어보고자 한다. 부정방정식에 대한 문제로 처음에 봤을 때는 '펠의 방정식'에 대한 문제와 비슷하게 생겨서 이렇게 풀어야 하나 싶었는데, 좀 생각해보니 다른 풀이로 풀어야 한다는 것을 알아내었다.문제$p+1=2x^{2},\quad p^{2}+1=2y^2$이 정수의 순서쌍을 가지는 모든 소수 $p$를 구하시오.아이디어일단 $x$와 $y$가 모두 양수라고 해도 일반성을 잃지 않..
정수론 문제 네이버 검색을 하던 도중 흥미로운 정수론 문제를 발견해서 그 문제와 풀이를 올리려고 한다. 물론 내가 푼 방법보다 좀 더 간단하면서도 정석적인 풀이가 있을 수도 있지만 아직은 생각나지 않아 그냥 한 가지 풀이로만 작성을 하고자 한다.문제$2009^{2009}$의 자릿수를 모두 더해서 나온 수의 자릿수를 다시 더하고, ..., 이런 식으로 한 자리 수가 될 때까지 반복하자. 이렇게 얻은 한 자리의 수는 얼마인지 구하시오.풀이이 문제에서 요구하는 답은 ..
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제 11회(1996년) 포항공대 수학경시대회(未完) 1. 공간 상에 길이가 1이고 서로 수직인 두 벡터 $\vec{u} = (a, u_1, u_2)$, $\vec{v} = (b, v_1, v_2)$가 있을 필요충분조건은 $a^2+b^2 \le 1$임을 보여라. 2. $f''(x) \ge 0$인 함수 $y=f(x)$와 직선 $y=l(x)$가 $a < b $인 두 실수 $a, b$에 대하여 $f(a)..
제 10회(1995년) 포항공대 수학경시대회(未完) 1.  A회사에서 생산되는 모든 과자 봉지에는 $n$종류의 장난감 중 하나가 임의로 선택되어 들어 있다. 모든 종류의 장난감을 다 모으려면 과자 봉지를 평균적으로 몇 개 사야 하겠는가?2. 좌표공간에 길이가 $\sqrt 2$이고 양 끝이 $(0, 0, 1)$과 $(1, 0, 0)$에 위치한 막대가 있다. 이 막대의 한 끝이 점 $(0, 0, 1)$과 점 $(0, 1, 1)$을 잇..
제 9회(1994년) 포항공대 수학경시대회(未完) 1. $\sqrt 2$는 무리수이다. $\alpha = \sqrt 2 + \sqrt[3] 2 + \sqrt[4] 2$, $\sqrt[4] 8$, $\beta = \sqrt[3] 2 + \sqrt[5]2+\sqrt[4]8$, $\gamma = \sqrt 2 + \sqrt[3]2 + 2 \sqrt[5] 2$라 할 때, $\alpha, \beta, \gamma$ 중 적어도 1개는 무리수임을 보..
제 8회(1993년) 포항공대 수학경시대회(未完) 1. 0이 아닌 다항식 $p(x)$들 중에서 임의의 실수 $x$에 대하여 $p(\sin x)=\sin(p(x))$을 만족하는 $p(x)$를 전부 찾고 그 이유를 설명하여라. 2. 자연수 $n$에 대하여 $a_n$을 1 또는 2의 합으로 표시할 수 있는 방법의 수로 정의한다. ( 예 : 3 = 1+1+1 = 2 + 1 = 1 + 2 이므로 $a_3=3$). 무한 급수 $..
제 7회(1992년) 포항공대 수학경시대회(未完) 1. 유리수 전체의 집합 위에서 정의되고 유리수 값을 갖는 함수 $f$가 있어서 다음의 두 식이 임의의 유리수 $p, q$에 대하여 $f(1)=2$, $f(pq)=f(p)f(q)-f(p+q)+1$을 항상 만족한다고 한다. 이러한 함수 $f$를 모두 구하시오. 2. 1에서 n까지의 수를 순서있게 나열하는 모든 경우의 집합을 $S_n=\{(a_1, a_2, \cdots, a_n)|a_i \in \{1, \cdots, n \}, i = 1, \..