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수학/포스텍 수학 경시대회

제 10회(1995년) 포항공대 수학경시대회(未完)

1.  A회사에서 생산되는 모든 과자 봉지에는 $n$종류의 장난감 중 하나가 임의로 선택되어 들어 있다. 모든 종류의 장난감을 다 모으려면 과자 봉지를 평균적으로 몇 개 사야 하겠는가?


2. 좌표공간에 길이가 $\sqrt 2$이고 양 끝이 $(0, 0, 1)$과 $(1, 0, 0)$에 위치한 막대가 있다. 이 막대의 한 끝이 점 $(0, 0, 1)$과 점 $(0, 1, 1)$을 잇는 선분 위에 있고, 다른 한 끝이 점 $(1, 0, 0)$과 점 $(0, 0, 0)$을 잇는 선분 위에 있도록 하며 움직인다. 막대의 자취와 $xz$평면 및 $yz$평면으로 둘러싸인 공간도형의 부피를 구하여라.


3. $A=\{ (x, y) | y \ge |x|^p \}$, $B = \{ (x, y) | x^2+(y-r)^2 \le r^2 \}$ $1 < p < 2$라 하자. 양수 $r$의 어떤 값에 대하여도 $B$가 $A$의 부분집합이 될 수 없음을 보여라.


4. 임의의 자연수 $n$에 대하여

(1) $A_n = {}_n C_0 + {}_n C _0 + {}_n C _4 + \cdots$, $B_n = {}_n C _1 + {}_n C_3 + {}_n C_5 + \cdots$이라 할 때, $A_n=B_n$임을 보여라. (단, $r>n$일 때, ${}_n C_r = 0$으로 정의한다.)


(2) $C_n = {}_nC_0+{}_nC_3+{}_nC6+\cdots$, $D_n={}_nC_1+{}_nC_4+{}_nC_7 + \cdots$, $E_n = {}_nC_2+{}_nC_5+{}_nC_8+\cdots$이라 할 떄, $C_n, D_n, E_n$ 중 둘은 값이 같고 나머지 하나는 이들과 차이가 1임을 보여라. (힌트 : $x^3=1$의 한 허근을 이용할 수 있다.


5. 평면 상의 점 $P(x, y)$ 중 $x, y$가 모두 정수인 점을 격자점이라 한다.

(1) $0 \le y \le 100$이라 하자. 격자점 $P(100, y)$와 원점 $O$를 잇는 선분이 양 끝점 외에 다른 격자점을 포함하지 않게 하는 $y$값의 개수를 구하여라.


(2) 각 꼭짓점에 구멍이 나있고 각 변의 길이가 1인 정사각형 모양의 당구대가 있다. 당구공이 움직이다 꼭짓점에 닿으면 구멍을 통하여 빠져 나온다 하자. 점 $O$에서 당구공을 칠 때, 공이 움직인 거리가 $7$이하가 되는 경로는 몇 가지 있는가? (단, 당구공의 크기와 구멍의 크기는 무관하다.)


6. 모서리의 길이가 1인 정육면체 속에 직원기둥을 정육면체의 각 면과 점으로 만나도록 넣는다.

(1) 직원기둥의 부피의 최댓값을 구하여라.


(2) 부피가 최대인 직원기둥을 정육면체의 밑면에 투영하였을 때, 정사영의 넓이를 구하여라.



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