제 7회(1992년) 포항공대 수학경시대회(未完)

1. 유리수 전체의 집합 위에서 정의되고 유리수 값을 갖는 함수 $f$가 있어서 다음의 두 식이 임의의 유리수 $p, q$에 대하여 $f(1)=2$, $f(pq)=f(p)f(q)-f(p+q)+1$을 항상 만족한다고 한다. 이러한 함수 $f$를 모두 구하시오.

2. 1에서 n까지의 수를 순서있게 나열하는 모든 경우의 집합을 $S_n=\{(a_1, a_2, \cdots, a_n)|a_i \in \{1, \cdots, n \}, i = 1, \cdots, n, a_i \neq a_j (i \neq j) \}$이라 표현하자. 이 때 $S_n$의 임의의 원소 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$을 다음의 $(n-1)$가지 방법 $(a_2, a_1, a_3, \cdots, a_n)$, $(a_3, a_2, a_1, a_4, \cdots, a_n)$, $(a_4, a_3, a_2, a_1, a_5, \cdots, a_n), \cdots$, $(a_n, a_{n-1}, \cdots, a_1)$만을 사용하여 바꾸기로 한다. $L(n)$을 $(1, 2, \cdots, n)$으로부터 $S_n$의 어떠한 원소도 $L(n)$번 이하의 바꿈으로 $(1, 2, 3, \cdots, n)$으로부터 얻을 수가 있다.

(1) $L(4)=4$임을 보이시오.

(2) $n \ge 4$일 때 $L(n) \le 2n-4$임을 보이시오.

3. $\alpha, \beta, \gamma, \delta$를 방정식 $x^4+ax+b=0 \quad (b \neq 0)$의 네 근이라 할 때, $\frac{1}{{\alpha}^4}, \frac{1}{{\beta}^4}, \frac{1}{{\gamma}^4}, \frac{1}{{\delta}^4}$의 네 근을 갖는 4차 방정식을 구하시오.

4. (1) $\sin$을 $k$번 합성한 함수 $\sin_k$. 즉, $\sin_k(x) = \underbrace {\sin \circ \cdots \circ \sin (x)}_{k}$라고 정의할 때에 극한값 $\lim_{k \to \infty}{\frac{\sin_k(2)}{\sin_k(1)}}$을 구하시오.

(2) 극한 $\lim_{h \to 0}{\frac{1}{h} \int_{\sin x}^{\sin (x+h)} e^{\cos ((x+h)t)}} dt$를 구하시오.

5. $ a < b $라 하고 임의의 연속인 두 함수 $f_1, f_2$에 대하여

$$\int_{a}^{b} |f_1(x) + f_2(x) - \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} (f_1(y)+f_2(y))dy| dx \le 2 [\int_{a}^{b} |f_1(x)-1|dx + \int_{a}^{b}|f_2(x)-2|dx] $$

임을 보이시오.

6. 순위가 정해진 $2n (n \ge 2)$명의 탁구 선수가 2팀으로 나뉘어져 있다. A팀은 홀수 순위, B팀은 짝수 순위의 선수들로 구성되어 있다. 두 팀이 임의의 짝을 지어 $n$번의 단식 경기를 했을 때 A팀이 단 한 경기만 지고 나머지 $n-1$ 경기를 이길 확률을 구하시오. 단, 각 단식 경기의 결과는 순위에 의해 결정된다. (예 : 순위 3인 선수는 순위 4인 선수를 이긴다.)

문제 힌트

처음부터 유리수를 생각하지 말고 자연수 -> 정수 -> 유리수 순으로 생각을 해서 문제를 해결해보자.

일단 수를 바꾸는 규칙에 대해서 알고 그에 맞게 계산해서 점화식과 부등식을 이용해 해결해보자. 수학적 귀납법도 사용해보기~!

정말 노가다... 네 근을 가진다고 했으니까 근과 계수와의 관계를 이용하는 방법이 가장 쉬운 방법일 듯 하다.

(1)번은 사인함수와 관련된 부등식을 써서 조임정리로 해결해야 할 것 같다.

(2)번은 아직 아이디어가 안 떠오르네요..

뭔가 적분의 평균값 정리를 써보고 싶게 생겼다.

점화식을 잘 세우지!