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수학/포스텍 수학 경시대회

제 8회(1993년) 포항공대 수학경시대회(未完)

1. 0이 아닌 다항식 $p(x)$들 중에서 임의의 실수 $x$에 대하여 $p(\sin x)=\sin(p(x))$을 만족하는 $p(x)$를 전부 찾고 그 이유를 설명하여라.


2. 자연수 $n$에 대하여 $a_n$을 1 또는 2의 합으로 표시할 수 있는 방법의 수로 정의한다. ( 예 : 3 = 1+1+1 = 2 + 1 = 1 + 2 이므로 $a_3=3$). 무한 급수 $\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+2}}$의 값을 구하여라.


3. 0이 아닌 실수 $x$에 대하여 극한 $$\lim_{n \to \infty} (\frac{(1+\cos x + i \sin x)}{2} \frac{(1+\cos \frac{x}{2} + i \sin \frac{x}{2} )}{2} \cdots \frac{(1+\cos \frac{x}{2^n} + i \sin \frac{x}{2^n})}{2})$$을 구하여라.


4. 서로 다른 양수 $a, b$에 대하여 타원 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}=1$에 내접하는 삼각형 중 밑변이 $x$축과 평행한 삼각형 중에 최대 면적을 갖는 삼각형이 있음을 보여라. 그리고 그 최대 면적을 구하여라.


5. 임의의 자연수 $1 \le i \le n$에 대하여 $T_i$는 $n$개의 정수 성분을 갖는 벡터를 $n$개의 정수 성분을 갖는 벡터로 바꾸는 일차변환으로 
$T_i = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n\end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c} x_1 \\ \vdots \\ x_{i-1} \\ -x_i \\ x_{i+1} + x_i \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] \qquad (1 < i < n)$, 그리고 $T_1 \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -x_1 \\ x_2 + x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right]$, $T_n \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_{n-1} + x_n \\ -x_n \end{array} \right]$으로 정의된다.

(1)  벡터 $\vec{x}$의 첫 번재 성분 $x_1$이 음의 정수라 하자. 벡터 $T_MT_{M-1} \cdots T_1(\vec{x})$의 음의 정수가 아닌 성분의 개수가 벡터 $\vec{x}$의 음의 정수가 아닌 성분의 개수보다 하나 더 많게 되도록 하는 수 $M$을 구하고 그 이유를 설명하여라.


(2) $n$개의 정수 성분으로 된 임의의 벡터 $\vec{x}$에 유한번의 일차변환 $T_i$들을 적용시켜서 음의 정수 성부을 갖지 않는 벡터로 바꿀 수 있음을 증명하여라.


6. $1, 2, 4, 8, 19$의 다섯 숫자를 써서 $2 \times 2$ 행렬을 만들 때 같은 숫자를 중복하여 쓸 수 있다고 하자. 이렇게 만든 행렬이 역행렬을 가질 확률을 구하여라.



문제 힌트












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