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수학

정수론 문제 2

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네이버 지식in에 올라온 내용 중에서 흥미로운 정수론 문제를 발견해서 그것을 풀어보고자 한다. 부정방정식에 대한 문제로 처음에 봤을 때는 '펠의 방정식'에 대한 문제와 비슷하게 생겨서 이렇게 풀어야 하나 싶었는데, 좀 생각해보니 다른 풀이로 풀어야 한다는 것을 알아내었다.


문제


$p+1=2x^{2},\quad p^{2}+1=2y^2$이 정수의 순서쌍을 가지는 모든 소수 $p$를 구하시오.


아이디어


일단 $x$와 $y$가 모두 양수라고 해도 일반성을 잃지 않는다라는 성질과 소수의 성질을 이용하면 풀 수 있다.


풀이


일단 풀이는 지식 in에 직접 답변한 글의 링크로 대체하겠다. 시간이 나면 Latex을 이용해 작성하는 걸로 하겠다.


 : $p=7$



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