제 11회(1996년) 포항공대 수학경시대회(未完)
1. 공간 상에 길이가 1이고 서로 수직인 두 벡터 $\vec{u} = (a, u_1, u_2)$, $\vec{v} = (b, v_1, v_2)$가 있을 필요충분조건은 $a^2+b^2 \le 1$임을 보여라. 2. $f''(x) \ge 0$인 함수 $y=f(x)$와 직선 $y=l(x)$가 $a < b $인 두 실수 $a, b$에 대하여 $f(a)=l(a)$, $f(b)=l(b)$를 만족한다면 구간 $[a, b]$에서 항상 $l(x) \ge f(x)$임을 보여라. 3. A와 B가 가위바위보를 하여 높은 계단을 먼저 올라가는시합을 한다. 보로 이기면 5칸을, 가위로 이기면 2칸을, 바위로 이기면 1칸을 오르고, 비기거나 지면 제자리에 서 있는다. B는 A가 가위는 $\frac{1}{3}$, 바위는 $\fra..
제 10회(1995년) 포항공대 수학경시대회(未完)
1. A회사에서 생산되는 모든 과자 봉지에는 $n$종류의 장난감 중 하나가 임의로 선택되어 들어 있다. 모든 종류의 장난감을 다 모으려면 과자 봉지를 평균적으로 몇 개 사야 하겠는가? 2. 좌표공간에 길이가 $\sqrt 2$이고 양 끝이 $(0, 0, 1)$과 $(1, 0, 0)$에 위치한 막대가 있다. 이 막대의 한 끝이 점 $(0, 0, 1)$과 점 $(0, 1, 1)$을 잇는 선분 위에 있고, 다른 한 끝이 점 $(1, 0, 0)$과 점 $(0, 0, 0)$을 잇는 선분 위에 있도록 하며 움직인다. 막대의 자취와 $xz$평면 및 $yz$평면으로 둘러싸인 공간도형의 부피를 구하여라. 3. $A=\{ (x, y) | y \ge |x|^p \}$, $B = \{ (x, y) | x^2+(y-r)^2 \l..
제 7회(1992년) 포항공대 수학경시대회(未完)
1. 유리수 전체의 집합 위에서 정의되고 유리수 값을 갖는 함수 $f$가 있어서 다음의 두 식이 임의의 유리수 $p, q$에 대하여 $f(1)=2$, $f(pq)=f(p)f(q)-f(p+q)+1$을 항상 만족한다고 한다. 이러한 함수 $f$를 모두 구하시오. 2. 1에서 n까지의 수를 순서있게 나열하는 모든 경우의 집합을 $S_n=\{(a_1, a_2, \cdots, a_n)|a_i \in \{1, \cdots, n \}, i = 1, \cdots, n, a_i \neq a_j (i \neq j) \}$이라 표현하자. 이 때 $S_n$의 임의의 원소 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$을 다음의 $(n-1)$가지 방법 $(a_2, a_1, a_3, \cdots, a_n)$, $(a_3, a_2,..