제 11회(1996년) 포항공대 수학경시대회(未完)

1. 공간 상에 길이가 1이고 서로 수직인 두 벡터 $\vec{u} = (a, u_1, u_2)$, $\vec{v} = (b, v_1, v_2)$가 있을 필요충분조건은 $a^2+b^2 \le 1$임을 보여라.

2. $f''(x) \ge 0$인 함수 $y=f(x)$와 직선 $y=l(x)$가 $a < b $인 두 실수 $a, b$에 대하여 $f(a)=l(a)$, $f(b)=l(b)$를 만족한다면 구간 $[a, b]$에서 항상 $l(x) \ge f(x)$임을 보여라.

3. A와 B가 가위바위보를 하여 높은 계단을 먼저 올라가는시합을 한다. 보로 이기면 5칸을, 가위로 이기면 2칸을, 바위로 이기면 1칸을 오르고, 비기거나 지면 제자리에 서 있는다. B는 A가 가위는 $\frac{1}{3}$, 바위는 $\frac{1}{6}$, 보는 $\frac{1}{2}$의 빈도로 내는 것을 안다. B가 선택할 최선의 방법을 구하여라.

4. $X=\{ 1, 2, \cdots, 8\}$이라 할 떄, $f : X \rightarrow X$ 중 $f(f(f(x)))=x$를 만족하는 함수 $f$의 개수를 구하여라.

5. $|z|=1$인 어떠한 복소수 $z$를 대입하여도 부등식 $|1+z|^3+A|1-z|^2 \le 8$을 만족시키는 실수 $A$ 중에서 최대인 것을 구하여라.

6. 여러 번 미분 가능한 함수 $y=f(x)$가 조건 $f(0)=f'(0)=0$와 $f''(0)=3$을 만족한다. 충분히 작은 양수 $t$에 대하여 좌표 평면 위의 세 점 $(t, f(t)), (0, 0), (-t, f(-t))$를 지자는 원의 반지름을 $R(t)$라 할 떄, $\lim _{t \to 0} R(t)$를 구하여라.

7. 한 변의 길이가 1인 정사면체의 꼬인 위치에 있는 두 모서리의 중점 $A, B$를 지나는 직선 $l$이 있어 직선 $l$을 축으로 정사면체를 회전시켜 생긴 입체 $u$의 부피를 구하여라.

문제힌트

수직이라는 조건은 내적을 이용하면 쉽게 표현 할 수 있다.

$l(x)$를 일단 $f(x)$로 표현하고, 또, $f''(x) \ge 0$이므로 $f'(x)$가 증가함수라는 결과를 이용하면 쉽게 할 수 있다.

B가 각각 주먹, 가위, 보를 낼 때의 기댓값을 계산하자.

그냥 경우를 나눠서 직접 세는게 가장 빠를 것 같다.

$z=\cos \thetea + i \sin \theta$를 이용해서 삼각함수와 관련된 공식을 써서 정리해보자.

점 세 개를 알고 있으니까 직접 계산해보는 것도.. 예전에는 이렇게 풀었으나

위 개념이 접촉원이라는 사실만 알고 있다면 저런 계산을 안해도 된다! 그래서 곡률을 구해서 곡률반경을 계산해도 같은 결과가 나온다!

직선 $l$에 수직이 되도록 잘라서 단면을 구해서 최대 길이를 구한 다음 적분을 하자.