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수학

정수론 문제 2 네이버 지식in에 올라온 내용 중에서 흥미로운 정수론 문제를 발견해서 그것을 풀어보고자 한다. 부정방정식에 대한 문제로 처음에 봤을 때는 '펠의 방정식'에 대한 문제와 비슷하게 생겨서 이렇게 풀어야 하나 싶었는데, 좀 생각해보니 다른 풀이로 풀어야 한다는 것을 알아내었다. 문제 $p+1=2x^{2},\quad p^{2}+1=2y^2$이 정수의 순서쌍을 가지는 모든 소수 $p$를 구하시오. 아이디어 일단 $x$와 $y$가 모두 양수라고 해도 일반성을 잃지 않는다라는 성질과 소수의 성질을 이용하면 풀 수 있다. 풀이 일단 풀이는 지식 in에 직접 답변한 글의 링크로 대체하겠다. 시간이 나면 Latex을 이용해 작성하는 걸로 하겠다. 답 : $p=7$
정수론 문제 네이버 검색을 하던 도중 흥미로운 정수론 문제를 발견해서 그 문제와 풀이를 올리려고 한다. 물론 내가 푼 방법보다 좀 더 간단하면서도 정석적인 풀이가 있을 수도 있지만 아직은 생각나지 않아 그냥 한 가지 풀이로만 작성을 하고자 한다. 문제 $2009^{2009}$의 자릿수를 모두 더해서 나온 수의 자릿수를 다시 더하고, ..., 이런 식으로 한 자리 수가 될 때까지 반복하자. 이렇게 얻은 한 자리의 수는 얼마인지 구하시오. 풀이 이 문제에서 요구하는 답은 한 자리 수를 원하고 있다. 그렇기 때문에 답이 될 수 있는 숫자는 1~9의 9개의 숫자 중 하나가 가능하다. 계속 자릿수를 더하는 과정을 거치기 때문에 0은 절대로 나올 수가 없다. 이 문제와는 상관이 없어보일수도 있지만, 다음의 아이디어를 사용하도록..
책 제작 시 사용하는 양식 Latex 상에서 책을 만들 때 사용하는 양식입니다. 참고하시길 바랍니다. 참고로 한글을 사용하기 위해서는 ko-Tex를 깔아서 사용해야 합니다.(그렇지 않으면 한글 지원이 안되는 것 같더라고요) 파일로 받으시려면 아래를 클릭하시길 바랍니다.
제 11회(1996년) 포항공대 수학경시대회(未完) 1. 공간 상에 길이가 1이고 서로 수직인 두 벡터 $\vec{u} = (a, u_1, u_2)$, $\vec{v} = (b, v_1, v_2)$가 있을 필요충분조건은 $a^2+b^2 \le 1$임을 보여라. 2. $f''(x) \ge 0$인 함수 $y=f(x)$와 직선 $y=l(x)$가 $a < b $인 두 실수 $a, b$에 대하여 $f(a)=l(a)$, $f(b)=l(b)$를 만족한다면 구간 $[a, b]$에서 항상 $l(x) \ge f(x)$임을 보여라. 3. A와 B가 가위바위보를 하여 높은 계단을 먼저 올라가는시합을 한다. 보로 이기면 5칸을, 가위로 이기면 2칸을, 바위로 이기면 1칸을 오르고, 비기거나 지면 제자리에 서 있는다. B는 A가 가위는 $\frac{1}{3}$, 바위는 $\fra..
제 10회(1995년) 포항공대 수학경시대회(未完) 1. A회사에서 생산되는 모든 과자 봉지에는 $n$종류의 장난감 중 하나가 임의로 선택되어 들어 있다. 모든 종류의 장난감을 다 모으려면 과자 봉지를 평균적으로 몇 개 사야 하겠는가? 2. 좌표공간에 길이가 $\sqrt 2$이고 양 끝이 $(0, 0, 1)$과 $(1, 0, 0)$에 위치한 막대가 있다. 이 막대의 한 끝이 점 $(0, 0, 1)$과 점 $(0, 1, 1)$을 잇는 선분 위에 있고, 다른 한 끝이 점 $(1, 0, 0)$과 점 $(0, 0, 0)$을 잇는 선분 위에 있도록 하며 움직인다. 막대의 자취와 $xz$평면 및 $yz$평면으로 둘러싸인 공간도형의 부피를 구하여라. 3. $A=\{ (x, y) | y \ge |x|^p \}$, $B = \{ (x, y) | x^2+(y-r)^2 \l..
제 9회(1994년) 포항공대 수학경시대회(未完) 1. $\sqrt 2$는 무리수이다. $\alpha = \sqrt 2 + \sqrt[3] 2 + \sqrt[4] 2$, $\sqrt[4] 8$, $\beta = \sqrt[3] 2 + \sqrt[5]2+\sqrt[4]8$, $\gamma = \sqrt 2 + \sqrt[3]2 + 2 \sqrt[5] 2$라 할 때, $\alpha, \beta, \gamma$ 중 적어도 1개는 무리수임을 보여라. 2. 두 번 미분 가능한 함수 $f$가 $f(0) = 0$이고 모든 실수 $x$에 대하여 $|f''(x)| \le 1$이라 하자.(1) 임의의 양수 $a$에 대하여 $\frac{1}{a} \int _{0}^{1} |\frac{f(ax)}{a} - f'(0)x|dx \le \frac{1}{3}$임을 보여라. (2) ..
제 8회(1993년) 포항공대 수학경시대회(未完) 1. 0이 아닌 다항식 $p(x)$들 중에서 임의의 실수 $x$에 대하여 $p(\sin x)=\sin(p(x))$을 만족하는 $p(x)$를 전부 찾고 그 이유를 설명하여라. 2. 자연수 $n$에 대하여 $a_n$을 1 또는 2의 합으로 표시할 수 있는 방법의 수로 정의한다. ( 예 : 3 = 1+1+1 = 2 + 1 = 1 + 2 이므로 $a_3=3$). 무한 급수 $\sum _{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_n a_{n+2}}$의 값을 구하여라. 3. 0이 아닌 실수 $x$에 대하여 극한 $$\lim_{n \to \infty} (\frac{(1+\cos x + i \sin x)}{2} \frac{(1+\cos \frac{x}{2} + i \sin \frac{x}{2} )}{2} \cdot..
제 7회(1992년) 포항공대 수학경시대회(未完) 1. 유리수 전체의 집합 위에서 정의되고 유리수 값을 갖는 함수 $f$가 있어서 다음의 두 식이 임의의 유리수 $p, q$에 대하여 $f(1)=2$, $f(pq)=f(p)f(q)-f(p+q)+1$을 항상 만족한다고 한다. 이러한 함수 $f$를 모두 구하시오. 2. 1에서 n까지의 수를 순서있게 나열하는 모든 경우의 집합을 $S_n=\{(a_1, a_2, \cdots, a_n)|a_i \in \{1, \cdots, n \}, i = 1, \cdots, n, a_i \neq a_j (i \neq j) \}$이라 표현하자. 이 때 $S_n$의 임의의 원소 $(a_1, a_2, \cdots, a_n)$을 다음의 $(n-1)$가지 방법 $(a_2, a_1, a_3, \cdots, a_n)$, $(a_3, a_2,..